El estudio de la probabilidad tiene gran relevancia debido a la incertidumbre que rodean los sucesos presentes y futuros, la imposibilidad de la medida precisa de las cosas y en general el tener que lidiar con un mundo azaroso en el cual se tienen que tomar decisiones constantemente.
El calcular la probabilidad de un suceso nos permite tomar decisiones mas acertadas y por lo tanto tiene aplicacion en la ciencia, la docencia, la tecnologia, etc. y es cada dia mas importate en el curriculum de cualquier estudiante el espacio dedicado a la probabilidad.
En este blog se relizan algunos ejercicios tomados de el libro de "Probabilidad y estadistica" del autor Samuel Fuenlabrada y el orden de los mismos esta alterado pues al agregar nuevas entradas estas quedaron hasta arriba y los primeros ejercicios en la parte inferior del blog.
viernes, 30 de septiembre de 2011
Conjunto potencia
Sea el conjunto [1,2,3,4].
El número de elementos del conjunto potencia es $$2^4$$ = 16,
y son:
[ ],
[1], [2], [3], [4],
[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4],
[1, 2, 3], [2, 3, 4], [1, 3, 4], [1, 2, 4],
[1, 2, 3, 4]
El número de elementos del conjunto potencia es $$2^4$$ = 16,
y son:
[ ],
[1], [2], [3], [4],
[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4],
[1, 2, 3], [2, 3, 4], [1, 3, 4], [1, 2, 4],
[1, 2, 3, 4]
Otros problemas
Construye un histograma con las estaturas de los alumnos del curso de probabilidad en metros: 1.70, 1.80, 1.60, 1.65, 1.56, 1.58, 1.69, 1.57, 1.74, 1.65, 1.72, 1.58, 1.68.
En base a los datos podemos calcular la media
Media: 1.6553
Si se ordenan los datos en una tabla:
Si usamos un intervalo más corto podemos apreciar las características del grupo con más claridad.
Si se traza un histograma de estos datos:
Construye un histograma con las estaturas de los alumnos del curso de probabilidad en metros: 1.70, 1.80, 1.60, 1.65, 1.56, 1.58, 1.69, 1.57, 1.74, 1.65, 1.72, 1.58, 1.68.
En base a los datos podemos calcular la media
Media: 1.6553
Si se ordenan los datos en una tabla:
| Intervalo | M.C. | Frecuencia | F.R. | F.R.A. |
| 1.56-1.66 | 1.61 | 7 | 0.53846154 | 0.53846154 |
| 1.66-1.76 | 1.71 | 5 | 0.38461538 | 0.92307692 |
| 1.76-1.86 | 1.81 | 1 | 0.07692308 | 1 |
| Total | 13 | 1 |
Si usamos un intervalo más corto podemos apreciar las características del grupo con más claridad.
Si se traza un histograma de estos datos:
Probabilidad condicional
La probabilidad condicional se aplica al cálculo de un suceso cuando ya ocurrió otro que afecta su probabilidad, es decir que los sucesos son dependientes.
Si A y B son dos sucesos dependientes donde P(A) > 0. La probabilidad de que ocurra B cuando ya sucedió A es:
P(BA) = P(A’∩B)/ P(A)
Problema:
En una urna hay seis pelotas azules numeradas del 1 al 6. En otra urna hay seis pelotas rojas también numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos pelotas, una de cada urna, la suma de los números sea mayor que seis si ya sabemos que una pelota azul salio con un número divisible entre dos?
Solución:
A: En la pelota azul sale un número divisible entre dos.
B: La suma de los números es mayor que seis.
El espacio muestral de A y A∩B es:
Número de sucesos favorables para A = 18 (Color verde)
Número de sucesos favorables para B = 21 (En caracteres gruesos)
Número de sucesos favorables para A∩B = 12 (Sombreado de amarillo)
Entonces:
P(BA) = P(A∩B)/ P(A) = (12/36) / (18/36) = 0.6666
La probabilidad condicional se aplica al cálculo de un suceso cuando ya ocurrió otro que afecta su probabilidad, es decir que los sucesos son dependientes.
Si A y B son dos sucesos dependientes donde P(A) > 0. La probabilidad de que ocurra B cuando ya sucedió A es:
P(BA) = P(A’∩B)/ P(A)
Problema:
En una urna hay seis pelotas azules numeradas del 1 al 6. En otra urna hay seis pelotas rojas también numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos pelotas, una de cada urna, la suma de los números sea mayor que seis si ya sabemos que una pelota azul salio con un número divisible entre dos?
Solución:
A: En la pelota azul sale un número divisible entre dos.
B: La suma de los números es mayor que seis.
El espacio muestral de A y A∩B es:
Número de sucesos favorables para A = 18 (Color verde)
Número de sucesos favorables para B = 21 (En caracteres gruesos)
Número de sucesos favorables para A∩B = 12 (Sombreado de amarillo)
Entonces:
P(BA) = P(A∩B)/ P(A) = (12/36) / (18/36) = 0.6666
Probabilidad de una diferencia
La probabilidad de una diferencia se aplica cuando se quiere obtener la probabilidad de que un suceso determinado ocurra y que simultáneamente otro suceso también determinado, no ocurra.
Se expresa así:
P(A-B) = P(A) – P(A∩B)
Problema 25
En una urna hay pelotas rojas numeradas del 1 al 10 y pelotas azules numeradas del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una pelota sea roja y no tenga el número 5?
Solución:
A: Se extrae pelota roja
B: Sale el número 5
El suceso que nos interesa es A-B. Se aplica la relación.
P(A-B) = P(A) – P(A∩B)
Con
P(A)=10/15
P(A∩B)=1/15
Porque solo hay una pelota roja marcada con el número 5 del total de las 15 pelotas.
Por lo tanto:
P(A-B)= 10/15 – 1/15 = 9/15 = 0.6
En porcentaje: 60%
Problema 26
La probabilidad de que Antonio gane un juego de tenis es de 2/5 y la probabilidad de que Juan gane es de ¼. ¿Cuál es la probabilidad de que Antonio gane el torneo en que participa si en el juego final se enfrenta a Juan.
Solución:
Sucesos
A: Gane Antonio
B: Gane Juan
El suceso que nos interesa es que gane Juan y simultáneamente que Juan pierda. Por tanto, aplicamos la siguiente relación:
P(A-B) = P(A) - P(A∩B)
Como A y B son sucesos dependientes aplicamos la siguiente relación:
P(A∩B) = P(AyB) = P(A).P(B)
P(A∩B) = (2/5)(1/4)= 2/20
P(A-B) = P(A) - P(A∩B) = 2/5 – 2/20 = 0.3
Esto es 30%.
Se expresa así:
P(A-B) = P(A) – P(A∩B)
Problema 25
En una urna hay pelotas rojas numeradas del 1 al 10 y pelotas azules numeradas del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una pelota sea roja y no tenga el número 5?
Solución:
A: Se extrae pelota roja
B: Sale el número 5
El suceso que nos interesa es A-B. Se aplica la relación.
P(A-B) = P(A) – P(A∩B)
Con
P(A)=10/15
P(A∩B)=1/15
Porque solo hay una pelota roja marcada con el número 5 del total de las 15 pelotas.
Por lo tanto:
P(A-B)= 10/15 – 1/15 = 9/15 = 0.6
En porcentaje: 60%
Problema 26
La probabilidad de que Antonio gane un juego de tenis es de 2/5 y la probabilidad de que Juan gane es de ¼. ¿Cuál es la probabilidad de que Antonio gane el torneo en que participa si en el juego final se enfrenta a Juan.
Solución:
Sucesos
A: Gane Antonio
B: Gane Juan
El suceso que nos interesa es que gane Juan y simultáneamente que Juan pierda. Por tanto, aplicamos la siguiente relación:
P(A-B) = P(A) - P(A∩B)
Como A y B son sucesos dependientes aplicamos la siguiente relación:
P(A∩B) = P(AyB) = P(A).P(B)
P(A∩B) = (2/5)(1/4)= 2/20
P(A-B) = P(A) - P(A∩B) = 2/5 – 2/20 = 0.3
Esto es 30%.
Sucesos compuestos
Probabilidad de sucesos compuestos
(Intersección de conjuntos)
La probabilidad de que ocurran simultáneamente dos sucesos A y B se obtiene con el producto de sus probabilidades.
P(AyB) = P(A)∙P(B) ó también P(A∩B) = P(A)∙P(B)
a) Sucesos independientes. Son aquellos en los que la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
Experimento aleatorio:
Se lanza un dado y se extrae una canica de una bolsa. En la bolsa hay tres canicas, una roja una azul y una verde. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo y una canica azul?
Solución:
Los sucesos son independientes porque al salir una canica de cualquier color no afecta el resultado de lanzar el dado y viceversa.
A: {2,3,5}
B: Se extrae una canica azul.
P(A) = 3/6
P(B) = 1/3
P(AyB) = P(A)∙P(B) =3/6(1/3) = 0.1666
Se puede verificar contando los resultados favorables y dividiendo entre el número de resultados posibles.
(A,1) (A,2) (A,3) (A,4) (A,5) (A,6) (R,1) (R,2) (R,3) (R,4) (R,5) (R,6) (V,1) (V,2) (V,3) (V,4) (V,5) (V,6)
P(AyB) = 3/18 = 0.1666
b) Sucesos dependientes. Son aquellos en los que al ocurrir un suceso afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
En una caja hay 5 pelotas rojas, 8 blancas y 3 azules.
¿Cuál es la probabilidad de extraer dos pelotas la primera sea blanca y la segunda sea roja?
Los sucesos son dependientes porque al extraer una pelota se cambia el número de ellas en la bolsa y cambia la probabilidad de la segunda pelota que se extrae.
B: Se extrae pelota blanca.
R: Se extrae pelota roja.
P(B) = 8/16
P(R) = 5/15 Puesto que ya se extrajo una pelota y solo quedan 15 en la bolsa.
P(B∩R) = P(B)∙P(R) = (8/16)(5/15) = 1/6 = 0.1666
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos pelotas una sea blanca y otra roja?
A: Se extrae pelota blanca.
R: Se extrae pelota roja.
Los sucesos son dependientes porque al ocurrir uno afecta la probabilidad del otro, pero en este caso no se especifica el orden de los suceso por lo que se tienen las dos posibilidades, primero la pelota roja y después la blanca o primero la pelota blanca y después la roja. Esto nos da las parejas (B,R) y (R,B) que son excluyentes pues no pueden ocurrir de manera simultanea.
P[(R,B)o(B,R)] = P(R,B) + P(B,R) = P(R)∙P(B) + P(B)∙P(R) = (5/16)(8/15) + (8/16)(5/15) = 1/3 =0.3333
Este último problema presenta la combinación de la propiedad de la multiplicación y de la adición combinadas.
(Intersección de conjuntos)
La probabilidad de que ocurran simultáneamente dos sucesos A y B se obtiene con el producto de sus probabilidades.
P(AyB) = P(A)∙P(B) ó también P(A∩B) = P(A)∙P(B)
a) Sucesos independientes. Son aquellos en los que la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
Experimento aleatorio:
Se lanza un dado y se extrae una canica de una bolsa. En la bolsa hay tres canicas, una roja una azul y una verde. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo y una canica azul?
Solución:
Los sucesos son independientes porque al salir una canica de cualquier color no afecta el resultado de lanzar el dado y viceversa.
A: {2,3,5}
B: Se extrae una canica azul.
P(A) = 3/6
P(B) = 1/3
P(AyB) = P(A)∙P(B) =3/6(1/3) = 0.1666
Se puede verificar contando los resultados favorables y dividiendo entre el número de resultados posibles.
(A,1) (A,2) (A,3) (A,4) (A,5) (A,6) (R,1) (R,2) (R,3) (R,4) (R,5) (R,6) (V,1) (V,2) (V,3) (V,4) (V,5) (V,6)
P(AyB) = 3/18 = 0.1666
b) Sucesos dependientes. Son aquellos en los que al ocurrir un suceso afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
En una caja hay 5 pelotas rojas, 8 blancas y 3 azules.
¿Cuál es la probabilidad de extraer dos pelotas la primera sea blanca y la segunda sea roja?
Los sucesos son dependientes porque al extraer una pelota se cambia el número de ellas en la bolsa y cambia la probabilidad de la segunda pelota que se extrae.
B: Se extrae pelota blanca.
R: Se extrae pelota roja.
P(B) = 8/16
P(R) = 5/15 Puesto que ya se extrajo una pelota y solo quedan 15 en la bolsa.
P(B∩R) = P(B)∙P(R) = (8/16)(5/15) = 1/6 = 0.1666
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos pelotas una sea blanca y otra roja?
A: Se extrae pelota blanca.
R: Se extrae pelota roja.
Los sucesos son dependientes porque al ocurrir uno afecta la probabilidad del otro, pero en este caso no se especifica el orden de los suceso por lo que se tienen las dos posibilidades, primero la pelota roja y después la blanca o primero la pelota blanca y después la roja. Esto nos da las parejas (B,R) y (R,B) que son excluyentes pues no pueden ocurrir de manera simultanea.
P[(R,B)o(B,R)] = P(R,B) + P(B,R) = P(R)∙P(B) + P(B)∙P(R) = (5/16)(8/15) + (8/16)(5/15) = 1/3 =0.3333
Este último problema presenta la combinación de la propiedad de la multiplicación y de la adición combinadas.
jueves, 29 de septiembre de 2011
Probabilidad de sucesos compuestos (Unión de conjuntos)
La probabilidad de que un suceso u otro ocurran se calcula con las relaciones siguientes:
P(AoB) = P(A)+P(B) Si son sucesos mutuamente excluyentes.
P(AoB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) Si no son sucesos mutuamente excluyentes.
P(AoB) también se escribe como P(AUB).
Problema 15:
Para participar en una rifa de un reloj los alumnos de primer año compraron 18 boletos y los de segundo grado 12 boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de primero o de segundo gane la rifa? Se imprimieron 50 boletos.
Solución:
A: Un alumno de primer grado gana el premio.
B: Un alumno de segunda grado gana el premio.
El suceso que nos interesa es E=AoB, los sucesos A y B son mutuamente excluyentes.
P(AoB) = P(A) + P(B) = 18/50 + 12/50 = 30/50 = 0.6
La probabilidad de que un suceso u otro ocurran se calcula con las relaciones siguientes:
P(AoB) = P(A)+P(B) Si son sucesos mutuamente excluyentes.
P(AoB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) Si no son sucesos mutuamente excluyentes.
P(AoB) también se escribe como P(AUB).
Problema 15:
Para participar en una rifa de un reloj los alumnos de primer año compraron 18 boletos y los de segundo grado 12 boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de primero o de segundo gane la rifa? Se imprimieron 50 boletos.
Solución:
A: Un alumno de primer grado gana el premio.
B: Un alumno de segunda grado gana el premio.
El suceso que nos interesa es E=AoB, los sucesos A y B son mutuamente excluyentes.
P(AoB) = P(A) + P(B) = 18/50 + 12/50 = 30/50 = 0.6
Problema 16:La tabla muestra el nivel de estudios de los profesores de una escuela.
¿Cuál es la probabilidad de que a un alumno le toque un profesor egresado de la Escuela Nacional de Maestros o que tenga una especialización en la Universidad Pedagógica Nacional?Solución:
A: Profesor egresado de la Escuela Nacional de Maestros.
B: Profesor egresado de la Universidad Pedagógica Nacional.
A∩B≠Ø Porque hay profesor egresados de ambas instituciones.
Entonces:
P(AoB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) = 12/18 + 12/18 – 8/18 = 0.8888
En cada problema es necesario revisar con cuidado la cantidad de veces que ocurre el suceso y si son dos sucesos tomar en cuenta cuando son mutuamente excluyentes y cuando no.
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