Sucesos compuestos

Probabilidad de sucesos compuestos
(Intersección de conjuntos)

La probabilidad de que ocurran simultáneamente dos sucesos A y B se obtiene con el producto de sus probabilidades.


P(AyB) = P(A)∙P(B) ó también P(A∩B) = P(A)∙P(B)

a) Sucesos independientes. Son aquellos en los que la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
Experimento aleatorio:
Se lanza un dado y se extrae una canica de una bolsa. En la bolsa hay tres canicas, una roja una azul y una verde. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo y una canica azul?
Solución:
Los sucesos son independientes porque al salir una canica de cualquier color no afecta el resultado de lanzar el dado y viceversa.
A: {2,3,5}
B: Se extrae una canica azul.

P(A) = 3/6
P(B) = 1/3
P(AyB) = P(A)∙P(B) =3/6(1/3) = 0.1666

Se puede verificar contando los resultados favorables y dividiendo entre el número de resultados posibles.
(A,1) (A,2) (A,3) (A,4) (A,5) (A,6) (R,1) (R,2) (R,3) (R,4) (R,5) (R,6) (V,1) (V,2) (V,3) (V,4) (V,5) (V,6)

P(AyB) = 3/18 = 0.1666

b) Sucesos dependientes. Son aquellos en los que al ocurrir un suceso afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
En una caja hay 5 pelotas rojas, 8 blancas y 3 azules.
¿Cuál es la probabilidad de extraer dos pelotas la primera sea blanca y la segunda sea roja?
Los sucesos son dependientes porque al extraer una pelota se cambia el número de ellas en la bolsa y cambia la probabilidad de la segunda pelota que se extrae.
B: Se extrae pelota blanca.
R: Se extrae pelota roja.
P(B) = 8/16
P(R) = 5/15 Puesto que ya se extrajo una pelota y solo quedan 15 en la bolsa.
P(B∩R) = P(B)∙P(R) = (8/16)(5/15) = 1/6 = 0.1666

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos pelotas una sea blanca y otra roja?
A: Se extrae pelota blanca.
R: Se extrae pelota roja.
Los sucesos son dependientes porque al ocurrir uno afecta la probabilidad del otro, pero en este caso no se especifica el orden de los suceso por lo que se tienen las dos posibilidades, primero la pelota roja y después la blanca o primero la pelota blanca y después la roja. Esto nos da las parejas (B,R) y (R,B) que son excluyentes pues no pueden ocurrir de manera simultanea.

P[(R,B)o(B,R)] = P(R,B) + P(B,R) = P(R)∙P(B) + P(B)∙P(R) = (5/16)(8/15) + (8/16)(5/15) = 1/3 =0.3333

Este último problema presenta la combinación de la propiedad de la multiplicación y de la adición combinadas.